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  Curso en Ecuaciones Diferenciales Parciales

• Contenido del Cursos:

  Ecuaciones Diferenciales Parciales 
  TEMAS Y SUBTEMAS
  
  1. Introducción
  
  1.1 Deducción de ecuaciones en diferentes contextos: físicos, matemáticos, biológicos, etc. Ejemplos
  
  1.2 Clasificación de ecuaciones
  
  1.3 Ecuaciones fundamentales de la física matemática como modelos básicos de. ecuaciones lineales de segundo orden: ecuación de Laplace, ecuación de calor y ecuación de ondas
  
  1.4 Problemas bien y mal planteados. Problemas con valores iniciales y a la frontera. El teorema de Cauchy-Kowaleski
  
  1.5 Nociones sobre diferentes conceptos de solución: soluciones clásicas, soluciones débiles Dificultades típicas que se encuentran al resolver ecuaciones diferenciales parciales.
  
  2. Ecuaciones de primer orden
  
  2.1 Resolución por características: caso lineal
  
  2.2 Resolución por características: ejemplos no lineales. Cono de Monge.
  
  Señalar las dificultades asociadas con este tipo de ecuaciones
  
  Introducción a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Existencia local en tiempo, existencia
  
  global. Formación de singularidades. Soluciones débiles. Condiciones de entropía.
  
  Problema de Riemann
  
  3. Fórmulas explícitas de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden (métodos exactos)
  
  3.1 Ecuación de Laplace. Fórmula de Poisson. Propiedades de las funciones armónicas:
  
  principio del máximo, desigualdad de Harnack, métodos de energía. Problemas de contorno asociados. Ejemplos no lineales
  
  3.2 Ecuación de calor: núcleo de calor. Problemas con valores iniciales. Ejemplo de problema mal planteado (Cauchy retrógrado). Métodos de energía. Principio del máximo. Ejemplos no lineales
  
  3.3 Ecuación de onda: fórmula de D'Alembert. Problemas con valores iniciales. Métodos de energía. Función de Riemann. Propagación de singularidades. Sistemas hiperbólicos. Ejemplos no lineales
  
  4. Representación de soluciones
  
  4.1 Separación de variables, soluciones autosimilares, series de potencias y series de Fourier, ondas planas, ondas viajeras
  
  4.2 Transformadas, integrales y otras transformaciones
  
  4.3 Soluciones fundamentales, funciones de Green. Noción de solución débil. Problemas de autovalores
  
  5. Aproximación de soluciones
  
  5.1 Método de perturbaciones
  
  5.2 Métodos asintóticos
  
  5.3 Métodos numéricos.
  
  Temas optativos:
  
  6. Métodos indirectos
  
  6.1 Métodos variacionales
  
  6.2 Métodos topológicos
  
  6.3 Sub y supersoluciones. Cotas a priori
  
  6.4 Función implícita
  
  6.5 Bifurcación
  
  7. Comportamiento (métodos cualitativos)
  
  7.1 Decaimiento
  
  7.2 Simetrías
  
  7.3 Formación de singularidades
  
  Temas especiales:
  
  8. Dispersión inversa, solitones y sistemas integrables
  
  9. Ecuaciones de reacción-difusión, ondas viajeras, frentes, pulsos, formación de patrones
  
  10. Sistemas de leyes de conservación
  
  11. Ecuaciones de tipo mixto
  
  12. Teoría del control
  
  13. Aspectos probabilísticos: homogeneización

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